Mathematische Knobeleien 2000

Gruppe 2 (Klassen 8 bis 10)                  3. Runde                                           Lösungen

 Aufgabe 1:

    Umrechnungsformeln:  und .

Eine dreistellige Fahrenheittemperatur lässt sich als  schreiben, wobei  und b eine zweistellige Zahl ist.

Damit wäre nach Ludwigs Formel . Eingesetzt in die erste Umrechnungsformel ergibt dies:

Und aufgelöst:

Links steht eine ganze Zahl, also muss auch rechts eine ganze Zahl stehen. a muss daher ein Vielfaches von 5 sein. Da a einstellig ist, muss a = 5 sein. Setzt man a = 5 nun in die Gleichung ein und löst nach b auf, so ergibt sich b = 27.

Damit erhält man 527 ° F = 275 ° C.

Aufgabe 2:

    Betrachte die 10 x 5-Matrix der Kundennummern! In jeder Spalte steht genau eine richtige Ziffer. Da in der ersten Spalte alle Ziffern von 0 bis 9 vorkommen, kann hier nur eine Ziffer richtig sein. Da in fünf Spalten insgesamt zehn richtige Ziffern stehen, wobei in der ersten Spalte nur eine richtig ist, müssen sich die übrigen neun auf die letzten vier Spalten verteilen. Damit muss mindestens eine Spalte drei oder mehr richtige Ziffern enthalten. Dafür kommen nur die dritte Spalte mit drei Einsen und die vierte mit drei Siebenen in Frage. Gibt es zwei Spalten mit drei richtigen Ziffern, so hat die Kundennummer die Form xx17x. Das ist jedoch nicht möglich, weil dann 98174 zwei richtige Ziffern enthielte. Es gibt also nur eine Spalte mit drei richtigen Ziffern; alle übrigen Spalten enthalten nur zwei. Dafür gibt es die Möglichkeiten xx13x und xx87x. Erstere scheidet aus, weil sonst die Zahl 63136 zwei richtige Ziffern enthielte. Aus xx87x folgt nun für die zweite Stelle die 9 und daraus für die fünfte Stelle die 6. Schließlich bleibt für die  erste Stelle nur noch die 0 übrig. Die Kundennummer lautete somit 09876.

  Aufgabe 3:

     K sei der Anteil des gesamten anfangs vorhandenen Heuvorrates, den die Kühe an einem Tag fressen, S und Z seien diejenigen Anteile, die von den Schafen und Ziegen gefressen werden. Es ergeben sich damit drei Gleichungen:

Addiert man alle Gleichungen, so erhält man:

   bzw. durch 2 geteilt:  

Das bedeutet, dass der Bauer nach 40 Tagen neues Futter kaufen muss.

Aufgabe 4:

  Bezeichnet man die Radien der drei Kreise mit r₁, r₂, r₃ und die Abstände der drei Bäume mit a,b und c, dann lassen sich folgende drei Gleichungen aufstellen:

Addiere die dritte Gleichung zur ersten, ziehe davon die zweite ab und teile das Ergebnis durch zwei, so erhältst du:

  .     Entsprechend erhältst du:            und     

Setzt man nun die Werte 70 m, 80 m und 100 m für a, b und c ein, so erhält man für die Radien der drei Kreise 45 m, 25 m und 55 m.

Eine geometrische Lösung dieser Aufgabe mit Hilfe der Winkelhalbierenden des Dreiecks und damit des Inkreismittelpunktes ist auch möglich! Wo der Inkreis die Dreiecksseiten berührt, berühren sich auch die Kreise um die drei Bäume.